Nội dung bài giảng
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức:
a) \(3^n> 3n + 1\); b) \(2^{n+1} > 2n + 3\)
Hướng dẫn giải:
a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là
\(3^k> 3k + 1\) (1)
Nhân hai vế của (1) vơi \(3\), ta được:
\(3^{k+1} > 9k + 3 \Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\).
Vì \(6k - 1 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4\)
hay \(3^{k+1} > 3(k + 1) + 1\).
tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Vậy \(3^n> 3n + 1\) với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).
b) Với \(n = 2\) thì vế trái bằng \(8\), vế phải bằng \(7\). Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là
\(2^{k+1} > 2k + 3\) (2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh
\({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\)
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được:
\({2^{k + 2}} > 4k + 6 \Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\).
Vì \(2k + 1> 0\) nên \({2^{(k + 1)+1}}> 2k + 5=2(k+1)+3\)
Vậy \({2^{n+1}} > 2n + 3\) với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).