Bài 3.6 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11


Nội dung bài giảng

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a)

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) ;

b)

\(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr
3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Giải:

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr 
2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) ;   

Tập xác định của hàm số là D = R

- Nếu \(x \ne \sqrt 2 \) thì \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}\)

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2 {\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)

- Tại \(x = \sqrt 2 \) :

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left( {x + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 = f\left( {\sqrt 2 } \right) \cr}\)

Vậy hàm số liên tục tại \(x = \sqrt 2 \) 

Kết luận : \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R

b)  \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr 
3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\)    có tập xác định là D = R

- Nếu \(x \ne 2\) thì \(g\left( x \right) = {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)

Tại x = 2 : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} =  - \infty \)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại x = 2

Kết luận : \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\) nhưng gián đoạn tại x = 2