Nội dung bài giảng
Chứng minh rằng phương trình
a) \({x^5} - 3x - 7 = 0\) luôn có nghiệm ;
b) \(\cos 2x = \sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - {\pi \over 6};\pi } \right)\) ;
c) \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có nghiệm dương.
Giải:
a) Xét \(f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7\) và hai số 0; 2.
b) Xét \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) trên các khoảng \(\left( { - {\pi \over 6};{\pi \over 2}} \right){\rm{ , }}\left( {{\pi \over 2};\pi } \right)\)
c) Ta có,
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr} \)
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6x - 3\) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)
Ta có \(f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) = - 3.4 < 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x - 3 = 0\) có ít nhất một nghiệmthuộc (0; 1)
Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm dương.