Nội dung bài giảng
Cho dãy số
\(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \matrix{
{u_1} = 0 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
a) Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = {{{u_n} - 1} \over {{u_n} + 3}}\). Chứng minh dãy số là cấp số nhân.
b) Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.
Giải:
Từ giả thiết có
\({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3) (1)
Lập tỉ số \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{{u_{n + 1}} - 1} \over {{u_{n + 1}} + 3}}.{{{u_n} + 3} \over {{u_n} - 1}} = {{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3} \over {{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\) (2)
Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}}\) thay vào (2) ta được
\({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3} \over {2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}} = {{{u_n} - {u_{n + 1}}} \over {5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = {1 \over 5}\)
Vậy \({x_{n + 1}} = {1 \over 5}{x_n}\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = {1 \over 5}\) và \({x_1} = - {1 \over 3}\)
Ta có \({x_n} = - {1 \over 3}{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n - 1}}\)
Từ đó tìm được \({u_n} = {{3{x_n} - 1} \over {1 - {x_n}}} = {{ - {{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}} - 1} \over {1 + {1 \over 3}{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}}}} = {{{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}} + 1} \over {{1 \over 3}{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}\)