Nội dung bài giảng
Bài 5. Cho tứ giác \(ABCD\) nằm trong mặt phẳng \((α)\) có hai cạnh \(AB\) và \(CD\) không song song. Gọi \(S\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng \((α)\) và \(M\) là trung điểm đoạn \(SC\).
a) Tìm giao điểm \(N\) của đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((MAB)\)
b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng ba đường thẳng \(SO, AM, BN\) đồng quy
Lời giải:
a) Trong mặt phẳng \((α)\) vì \(AB\) và \(CD\) không song song nên \(AB ∩ DC = E\)
=> \(E ∈ DC\), mà \(DC ⊂ (SDC)\)
=> \(E ∈ ( SDC)\). Trong \((SDC)\) đường thẳng \(ME\) cắt \(SD\) tại \(N\)
=> \(N ∈ ME\) mà \(ME ⊂ (MAB)\)
=> \(N ∈ ( MAB)\). Lại có \(N ∈ SD => N = SD ∩ (MAB)\)
b) \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)\( => O\) thộc \(AC\) và \(BD\), mà \(AC ⊂ ( SAC)\)
=> \(O ∈( SAC), BD ⊂ (SBD) , O ∈ (SBD)\)
=> \(O\) là một điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\), mặt khác \(S\) cũng là điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD) => (SAC) ∩ (SBD) = SO\)
Trong mặt phẳng \((AEN)\) gọi \(I = AM ∩ BN\) thì \(I\) thuộc \(AM\) và \(I\) thuộc \(BN\)
Mà \(AM ⊂ (SAC) => I ∈ (SAC), BN ⊂ ( SBD) => I ∈ (SBD)\). Như vậy \(I\) là điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\) nên \(I\) thuộc giao tuyến \(SO\) của \((SAC)\) và \((SBD)\) tức là \(S, I, O\) thẳng hàng hay \(SO, AM, BN\) đồng quy.