Nội dung bài giảng
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.
Giải
Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c .\)
Vì G’ là trọng tâm tứ diện BCC’D’ nên \(\overrightarrow {AG'} = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {AD'} } \right)\)
Và G là trọng tâm tứ diện A’D’MN nên
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AG} = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AG'} - \overrightarrow {AG} \cr& = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {D'C} + \overrightarrow {MC'} + \overrightarrow {ND'} } \right) \cr & = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow c + \overrightarrow a - \overrightarrow c + {1 \over 2}\overrightarrow a + \overrightarrow c + {1 \over 2}\overrightarrow c } \right) \cr & = {1 \over 8}\left( {5\overrightarrow a - \overrightarrow c } \right) = {1 \over 8}\left( {5\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right) \cr} \)
Do đó \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {GG'} \) đồng phẳng. Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.