Nội dung bài giảng
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) \(2cos^2x – 3cosx + 1 = 0\)
b) \(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25\)
c) \(2 sin x + cosx = 1\)
d) \(sinx + 1,5 cotx = 0\)
Giải
a) \(2cos^2x – 3cosx + 1 = 0\)
Đặt \(t = cosx\) với điều kiện \(-1 ≤ x ≤ 1\), ta được phương trình bậc hai theo \(t\):
\(2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Với \(t = 1\), ta có:
\(cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ \mathbb{Z}\)
Với \(t = {1 \over 2}\) ta có:
\(\eqalign{
& \cos x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\cr} \)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = k2\pi ,x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
b) Ta có:
\(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25\)
\(⇔ 25(1-cos^2x) + 30sinxcosx + 9cos^2x= 25\)
\(⇔ -25 cos^2x + 30sinxcosx + 9cos^2x = 0\)
\(⇔ -16cos^2x + 30sinxcosx = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow - 2\cos x(8\cos x - 15\sin x) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0 \hfill \cr
8\cos x - 15\sin x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0 \hfill \cr
\tan x = {8 \over {15}} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan {8 \over {15}} + k\pi \hfill \cr} \right.,k \in \mathbb{Z} \cr} \)
c) Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {4 + 1} = \sqrt 5 \) , ta được:
\({2 \over {\sqrt 5 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 5 }}\cos x = {1 \over {\sqrt 5 }}\)(*)
Vì \({({2 \over {\sqrt 5 }})^2} + {({1 \over {\sqrt 5 }})^2} = 1\) nên tồn tại một góc \(α\) thỏa mãn:
\(\left\{ \matrix{
\sin \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr
\cos \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr} \right.\)
Khi đó, phương trình (*) trở thành:
\(\eqalign{
& \sin \alpha {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \cos \alpha \cos x = \cos \alpha\cr
& \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) = \cos \alpha \cr
& \Leftrightarrow x - \alpha = \pm \alpha + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2\alpha + k2\pi \hfill \cr
x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb{Z}\cr} \)
d) Điều kiện \(sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ \mathbb{Z}\).
Phương trình đã cho biến đổi:
\(\eqalign{
& \sin x + {3 \over 2}.{{\cos x} \over {\sin x}}=0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 3\cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2(1 - {\cos ^2}x) + 3\cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 2 = 0 \cr} \)
(*)
Đặt \(t = cosx\) với điều kiện \(-1 < t < 1\)
Khi đó, phương trình (*) trở thành:
\(2{t^2} - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 2 \hfill\text{(loại)} \cr
t = {{ - 1} \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Với \(t = {{ - 1} \over 2}\)
\(\eqalign{
& t = {{ - 1} \over 2} \Rightarrow \cos x = {{ - 1} \over 2} = \cos {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \cr} \)