Nội dung bài giảng
Bài 50. Cho dãy số (un) xác định bởi :
\({u_1} = 3\;\text{và}\;{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1
Chứng minh rằng (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.
Giải:
Ta chứng minh \({u_n} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\;\left( 1 \right)\) với mọi n bằng qui nạp
+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {\rm{ }}3\), (1) đúng
+) Giả sử (1) đúng với \(n=k\) tức là: \({u_k} = {\rm{ }}3\)
+) Ta chứng minh \({u_{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}3\)
Thật vậy ta có \({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\)
Vậy \({u_n} = {\rm{ }}3, ∀n ≥ 1\) do đó (un) vừa là cấp số cộng công sai \(d = 0\) vừa là cấp số nhân công bội \(q = 1\).