Nội dung bài giảng
Bài 6. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_1= 2, u_{n+1} =2u_n– 1\) (với \(n ≥ 1\))
a) Viết năm số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh: \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) bằng phương pháp quy nạp.
Trả lời:
a) Ta có:
\({u_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{u_2} = {\rm{ }}2{u_1}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3,{\rm{ }}{u_3} = {\rm{ }}2{u_2}-{\rm{ }}1 = {\rm{ }}5\)
\({u_4} = {\rm{ }}2{u_3} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}9,{\rm{ }}{u_5} = {\rm{ }}2{u_4}-{\rm{ }}1 = {\rm{ }}17\)
b) Với \(n = 1\), ta có: \(u_1= 2^{1-1}+ 1 = 2\) công thức đúng
Giả sử công thức đúng với \(n = k\). Nghĩa là: \({u_k} = {\rm{ }}{2^{k - 1}} + {\rm{ }}1\)
Ta chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta phải chứng minh:
\({u^{k + 1}} = {\rm{ }}{2^{\left( {k + 1} \right) - 1}} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^k} + {\rm{ }}1\)
Ta có: \({u_{k + {\rm{ }}1}} = 2{u_k} - 1 = 2({2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}1) - 1 = {2.2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}2-1 = {2^k} + 1\) (đpcm)
Vậy \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\).