Nội dung bài giảng
Bài 7. Xét tính liên tục trên R của hàm số:
\(g(x) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} - x - 2} \over {x - 2}}(x > 2) \hfill \cr
5 - x(x \le 2) \hfill \cr} \right.\)
Trả lời:
Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - x - 2} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{(x - 2)(x + 1)} \over {x - 2}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + 1) = 3 (1)\cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (5 - x) = 3\) (2)
\(g(2) = 5 – 2 = 3 \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = g(2)\) .
Do đó hàm số \(y = g(x)\) liên tục tại \(x_0= 2\)
Mặt khác trên \((-∞, 2)\), \(g(x)\) là hàm đa thức và trên \((2, +∞)\), \(g(x)\) là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên \((2, +∞)\) nên hàm số \(g(x)\) liên tục trên hai khoảng \((-∞, 2)\) và \((2, +∞)\)
Vậy hàm số \(y = g(x)\) liên tục trên \(\mathbb R\).