Nội dung bài giảng
Bài 8. Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.
Trả lời:
_ Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:
+ B1: Chứng minh bài toán đúng với \(n = 1\)
+ B2: Giả thuyết bài toán đúng với \(n = k\) (gọi là giả thiết quy nạp)
+ B3. Chứng minh bài toán đúng v4ới \(n = k + 1\)
Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)
_ Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) ta có:
\({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = {{n(n + 1)(2n + 1)} \over 6}(1)\)
Giải
_ Khi \(n = 1\) thì (1) trở thành \({1^2} = {{1(1 + 1)(2 + 1)} \over 6}\) đúng.
_ Giả sử (1) đúng khi \(n = k\), tức là:
\({1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} = {{k(k + 1)(2k + 1)} \over 6}\)
_ Ta chứng minh (1) đúng khi \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh:
\({1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {(k + 1)^2} = {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} \over 6}\)
_ Thật vậy :
\(\eqalign{
& {1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} + {(k + 1)^2} \cr
& = {{k(k + 1)(2k + 1)} \over 6} + {(k + 1)^2} = {{(k + 1)k(2k + 1) + 6(k + 1)} \over 6} \cr
& = {{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)} \over 6} = {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} \over 6} \cr} \)
Vậy (1) đúng khi \(n = k + 1\).
Kết luận: (1) đúng với \(n\in {\mathbb N}^*\)