Nội dung bài giảng
Bài 11. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(∆\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ \((Oxz)\) và cắt hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 4 + t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\)
\(d':\left\{ \matrix{
x = 1 - 2k \hfill \cr
y = - 3 + k \hfill \cr
z = 4 - 5k. \hfill \cr} \right.\)
Giải
Gọi \(M\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\), toạ độ của \(M\) là \(M( t; -4 + t; 3 - t)\). \(N\) là điểm thuộc đường thẳng \(d'\), toạ độ của \(N\) là \(N(1 - 2k; -3 + k; 4 - 5k)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MN}= (1 - 2k - t; 1 + k - t; 1 - 5k + 1)\)
Vì \(MN ⊥ (Oxz)\) nên \(MN ⊥ Ox\) và \(MN ⊥ Oz\)
\(Ox\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = (1; 0; 0)\);
\(Oz\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow j = (0; 0; 1)\).
\(MN ⊥ Ox\)
\( \Leftrightarrow (1 - 2k - t).1 + (1 + k - t).0 + (1 - 5k + t).0\)
\(= 0\)
\( \Leftrightarrow 1 - 2k - t = 0\) (1)
\(MN ⊥ Oz\)
\( \Leftrightarrow (1 - 2k - t).0 + (1 + k - t).0 + (1 - 5k + t) = 0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
\(\left\{ \matrix{
1 - 2k - t = 0 \hfill \cr
1 - 5k + t = 0 \hfill \cr} \right.\)
Hệ này cho ta \(k = {2 \over 7}\); t =\({3 \over 7}\)
và được toạ độ của M\(\left( {{3 \over 7}; - {{25} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\) , N\(\left( {{3 \over 7}; - {{19} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\)
Từ đây ta có \(\overrightarrow {MN} = (0; 1; 0)\) và được phương trình đường thẳng \(MN\) là:
\(\left\{ \matrix{
x = {3 \over 7} \hfill \cr
y = - {{25} \over 7} + t \hfill \cr
z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\)