Nội dung bài giảng
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = {{x + 1} \over {{x^2} + 8}}\)
b) \(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x - 1}}\)
c) \(y = {{{x^2} + x - 5} \over {x + 1}}\)
d) \(y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}\)
Hướng dẫn làm bài:
a) TXĐ : R
\(y' = {{{x^2} + 8 - 2x(x + 1)} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}} = {{ - {x^2} - 2x + 8} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = - 4 và \({y_{CD}} = y(2) = {1 \over 4};{y_{CT}} = y( - 4) = - {1 \over 8}\)
b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1.
\(y' = {{{x^2} - 2x - 1} \over {{{(x - 1)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr
x = 1 + \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1 - \sqrt 2 \) và đạt cực tiểu tại \(x = 1 + \sqrt 2\) , ta có:
\({y_{CD}} = y(1 - \sqrt 2 ) = - 2\sqrt 2 ;{y_{CT}} = y(1 + \sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 \)
c) TXĐ: R\{-1}
\(y' = {{{x^2} + 2x + 6} \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị.
d) \(y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}\)
Vì x2 – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên \(( - \infty ; + \infty )\)
\(y' = {{2(x - 4)({x^2} - 2x + 5) - {{(x - 4)}^2}(2x - 2)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}} = {{2(x - 4)(3x + 1)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {1 \over 3} \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - {1 \over 3}\) , đạt cực tiểu tại x = 4 và \({y_{CD}} = y( - {1 \over 3}) = {{13} \over 4};{y_{CT}} = y(4) = 0\)