Nội dung bài giảng
Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị.
\(y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}}\)
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}.
Ta có:
\(\eqalign{
& y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}} \cr
& y' = {{(2x + 2m)(x - m) - ({x^2} + 2mx - 3)} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr
& = {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr} \)
Xét g(x) = x2 – 2mx – 2m2 + 3
∆’g = m2 + 2m2 – 3 = 3(m2 – 1) ;
∆’g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1.
Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.
Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ - 1) Các hàm số này không có cực trị.
Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.