Nội dung bài giảng
Tìm m để hàm số
a) \(y = {x^4} + ({m^2} - 4){x^2} + 5\) có 3 cực trị
b) \(y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3\) có đúng một cực trị.
Hướng dẫn làm bài:
a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt , tức là :
\(y' = 4{x^3} + 2({m^2} - 4)x = 2x(2{x^2} + {m^2} - 4) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow {x^2} + {m^2} - 4 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\(\Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\)
Vậy với - 2 < m < 2 hàm số có 3 cực trị.
b) \(y' = 4(m - 1){x^3} - 2mx = 2x[2(m - 1){x^2} - m{\rm{]}}\)
Hàm số có đúng một cực trị khi y’ = 0 có đúng một nghiệm, tức là:
\(2x[2(m - 1){x^2} - m{\rm{] = 0}}\) chỉ có nghiệm x = 0
Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc \({m \over {2(m - 1)}} \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 1\)
Vậy với \(0 \le m \le 1\) hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.