Nội dung bài giảng
Chứng minh rằng hàm số: \(y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} - 3(m + 3)x - 5\) luôn có cực trị với mọi giá trị của m ∈ R
Hướng dẫn làm bài:
\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 6(m - 1)x - 3(m + 3) \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 \cr} \)
Hàm số cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 3 = {m^2} - m + 4 \ge 0\)
Ta thấy tam thức \(\Delta ' = {m^2} - m + 4\) luôn dương với mọi \(m \in R\) vì \(\delta = 1 - 16 = - 15 < 0\) và a = 1 > 0.
Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị.