Nội dung bài giảng
Cho hàm số: y = x3 + mx2 – 3 (1)
a) Xác định m để hàm số (1) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
b) Chứng minh rằng phương trình: x3 + mx2 – 3 = 0 (2) luôn luôn có một nghiệm dương với mọi giá trị m thuộc R.
c) Xác định m để phương trình (2) có một nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} - 3\) xác định và có đạo hàm trên R.
\(y' = 3{x^2} + 2mx = x(3x + 2m)\)
Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = 0;{x_2} = {{ - 2m} \over 3} \ne 0\)
Muốn vậy phải có \(m \ne 0\)
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^3} + m{x^2} - 3) = + \infty \) và \(y(0) = -3 < 0.\)
Vậy với mọi m, phương trình x3 + mx2 – 3 = 0 luôn luôn có nghiệm dương.
c) Phương trình f(x) = x3 + mx2 – 3 = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x) cùng dấu, tức là:
\(\eqalign{
& f(0)f( - {{2m} \over 3}) > 0 \cr
& \Leftrightarrow ( - 3)( - {{8{m^3}} \over {27}} + {{4{m^3}} \over 9} - 3) > 0 \cr&\Leftrightarrow 8{m^3} - 12{m^3} + 81 > 0 \cr
& \Leftrightarrow 4{m^3} < 81 \Leftrightarrow m < 3\root 3 \of {{3 \over 4}} (m \ne 0) \cr} \)