Bài 29 trang 9 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Nội dung bài giảng

Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng \(\sqrt 2 \). Cho biết mặt phẳng \(\left( {A{A_1}B} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\),\({\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = \sqrt 3 \), góc \(\widehat {{A_1}AB}\) nhọn , góc giữa mặt phẳng \(\left( {{A_1}AC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng 600.

Hãy tính thể tích khối lăng trụ.

Giải

(h.12)

Hạ \({A_1}K \bot AB\) ( với \(K \in AB)\) thì \({A_1}K \bot \left( {ABC} \right)\). Vì \(\widehat {{A_1}AB}\) nhọn nên K thuộc tia AB.

Kẻ \(KM \bot AC\) thì \({A_1}M \bot AC\) (định lí ba đường vuông góc ), do đó \(\widehat {{A_1}MK}\) = 600,

Giả sử \({A_1}K = x\), ta có :

\(\eqalign{  & AK = \sqrt {{A_1}{A^2} - {A_1}{K^2}}  = \sqrt {3 - {x^2}} ,  \cr  &  \cr} \)

\(MK = AK.\sin \widehat {KAM}\)

          \(=\sqrt {3 - {x^2}} .\sin {45^0} = {{\sqrt 2 } \over 2}\sqrt {3 - {x^2}} .\)

Mặt khác, \(MK = {A_1}K.\cot {60^0} = {x \over {\sqrt 3 }},\) suy ra

\( {{\sqrt{2.\left( {3 - {x^2}} \right)} \over {2}}}  = {x \over {\sqrt 3 }} \Rightarrow x = {3 \over {\sqrt 5 }}.\)

Vậy \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = {S_{ABC}}.{A_1}K \)

                              \(= {1 \over 2}AC.CB.{A_1}K = {{3\sqrt 5 } \over {10}}\)