Bài 3 trang 223 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Nội dung bài giảng

Xét hình lăng trụ tam giác đều với chiều cao h, nội tiếp một mặt cầu bán kính R (h < 2R) (tức sáu đỉnh của hình lăng trụ nằm trên mặt cầu đó).

a) Tính cạnh đáy của hình lăng trụ.

b) Tính thể tích của khối lăng trụ.

c) Tính h theo R để mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông.

Giải

(h.107).

 

a) Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, I là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó ta có : \(OA = OB = OC = R,OI = {1 \over 2}h.\) Tam giác OAI vuông tại I nên\(A{I^2} = O{A^2} - {\rm{ }}O{I^2} = {\rm{ }}{R^2}\; - {{{h^2}} \over 4}.\) 

IA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên

              \(AB = IA\sqrt 3  = \sqrt {3\left( {{R^2} - {{{h^2}} \over 4}} \right)} .\)

Vậy cạnh đáy của hình lăng trụ bằng

                    \({1 \over 2}\sqrt {3\left( {4{R^2} - {h^2}} \right)} .\)

b) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là :

\(V = {S_{ABC}}.h = {{A{B^2}\sqrt 3 } \over 4}h = {{3\sqrt 3 } \over {16}}\left( {4{R^2} - {h^2}} \right)h.\)

c) Mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông khi và chỉ khi AB = h, tức \({1 \over 2}\sqrt {3\left( {4{R^2} - {h^2}} \right)}  = h \Leftrightarrow h = \sqrt {{{12} \over 7}} R\) (để ý rằng \(\sqrt {{{12} \over 7}} \)< 2).