Nội dung bài giảng
Cho hình nón N có bán kính đáy R, đường cao SO. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với SO tại O1 sao cho \(S{O_1} = {1 \over 3}SO.\) Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón N nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Tính thể tích phần hình nón N nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón N.
Giải
Gọi thiết diện thu được là \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}{B_1}B\).
Vì \(S{O_1} = {1 \over 3}SO\) nên
\({A_1}{B_1} = {1 \over 3}AB = {1 \over 3}.2R.\)
Mặt khác \(A{B_1} \bot {A_1}B\) tại I nên
\(IO = {1 \over 2}AB,I{O_1} = {1 \over 2}{A_1}{B_1}.\)
Vậy \(O{O_1} = R + {R \over 3} = {{4R} \over 3}.\)
Dễ thấy \(S{O_1} = {1 \over 2}O{O_1} = {{2R} \over 3}.\)
Từ đó \(SO = 2R.\)
Gọi thể tích phần hình nón phải tính là \(V^ * \) thì \(V^ * = {V_1} - {V_2}\), trong đó :
V1 là thể tích của hình nón N.
V2 là thể tích hình nón đỉnh S và đáy là thiết diện của N. được cắt bởi (P).
Ta có thể tích phần hình nón phải tính là
\(\eqalign{ & V ^* = {V_1} - {V_2} = {1 \over 3}\pi .O{B^2}.SO - {1 \over 3}\pi .{O_1}{B_1}^2.S{O_1} \cr & = {1 \over 3}\pi ({R^2}.2R - {{{R^2}} \over 9}.{{2R} \over 3}) = {{52\pi {R^3}} \over {81}}. \cr} \)