Nội dung bài giảng
Bài 36. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
\(a)\,\,y = \sqrt {{x^2} - 1} \,\,\); b) \(y = 2x + \sqrt {{x^2} - 1} \)
c) \(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} \) d) \(y = \sqrt {{x^2} + x + 1} \).
Gỉải
a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị khi \(x \to + \infty \).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} = - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = -x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to - \infty \)).
b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 3\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = 3x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} - x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to - \infty \))
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to + \infty \)
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr} \)
Đường thẳng \(y = 2x\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to + \infty \))
* Tiệm cận khi \(x \to - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {1 \over {x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = 0\)
Đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang (khi \(x \to - \infty \))
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(\eqalign{
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }+1} = {1 \over 2} \cr} \)
Đường thẳng \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to + \infty \))
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } -\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 + {1 \over x}} \over { - \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }-1} = - {1 \over 2}\)
Đường thẳng \(y = - x - {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to - \infty \))