Nội dung bài giảng
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{x \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {z \over 4}\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 2 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)
a) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \({\Delta _1}\) và song song với \({\Delta _2}\)
b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\) sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn làm bài:
a) Phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\matrix{{x = 2t'} \cr {y = - 2 + 3t'} \cr {z = 4t'} \cr} } \right.\)
\({\Delta _1}\) đi qua điểm M1(0; -2; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} = (2;3;4)\)
\({\Delta _2}\) đi qua điểm M2 (1; 2; 1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} = (1;1;2)\)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{a_1}} \wedge \overrightarrow {{a_2}} = (2;0; - 1)\)
\((\alpha )\) đi qua điểm M1(0; -2; 0) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \), vậy phương trình của \((\alpha )\) là: 2x – z = 0
b) Xét điểm \(H(1 + t;2 + t;1 + 2t) \in {\Delta _2}\)
\(\overrightarrow {MH} = (t - 1;t + 1;2t - 3)\)
Ta có: MH nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MH \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{a_2}} = 0\)
\(\Leftrightarrow t – 1 + t +1 + 2(2t – 3) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
Vậy ta được H(2; 3; 3)