Nội dung bài giảng
Bài 4. Hình chóp \(S.ABC\) có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh \(SA, SB, SC\) và tiếp xúc với ba cạnh \(AB, BC, CA\) tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Giải
Gọi \(M, N, P\) theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(SA, SB, SC\); \(D, E, F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CA\), các điểm \(D, E, F\) đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(AB, BC, CA\).
Ta có: \(AD = AF \Rightarrow AB = AC\)
\(BD = BE \Rightarrow BC = AB\)
\( \Rightarrow AB = BC = CA\)
\( \Rightarrow △ABC\) là tam giác đều... (1)
Ta lại có \(AM = AD; BN = BD = AD\)
và \(SM = SN = SP\)
\( \Rightarrow SM + AM = SN + NB\)
\( \Rightarrow SA = SB\)
Chứng minh tương tự ta có: \(SA = SB = SC\).
Gọi \(H\) là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh \(S\), ta có:
\(△SHA = △SHB =△SHC\)\( \Rightarrow HA = HB = HC\)
\( \Rightarrow H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều.