Nội dung bài giảng
Bài 5. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
\(a)\,f\left( x \right) = {{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}\) \(b)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5x + 4} }}\)
\(c)\,f\left( x \right) = x\root 4 \of {1 - {x^2}} \) \(d)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
Giải
a) Đặt \(u = \sqrt {1 - {x^3}} \Rightarrow {u^2} = 1 - {x^3} \Rightarrow 2udu = - 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = - {2 \over 3}udu\)
Ta có: \(\int {{{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx} = \int {{{9.{-2 \over 3}udu} \over u} = - 6\int {du = - 6u + C = - 6\sqrt {1 - {x^3}} + C} } \)
b) Đặt \(u = \sqrt {5x + 4} \Rightarrow {u^2} = 5x + 4 \Rightarrow 2udu = 5dx \Rightarrow dx = {{2u.du} \over 5}\)
Do đó: \(\int {{{dx} \over {\sqrt {5x + 4} }}} = \int {{{2udu} \over {5u}} = {2 \over 5}u + C = {2 \over 5}\sqrt {5x + 4} + C} \)
c) Đặt \(u = \root 4 \of {1 - {x^2}} \Rightarrow {u^4} = 1 - {x^2} \Rightarrow 4{u^3}du = - 2xdx \Rightarrow xdx = - 2{u^3}du\)
Do đó: \(\int {x\root 4 \of {1 - {x^2}} dx = \int { - 2{u^4}du} = -{{2{u^5}} \over 5} + C = - {2 \over 5}\root 4 \of {\left( {1 - {x^2}} \right)5\,} + C} \)
d) Đặt \(u = 1 + \sqrt x \Rightarrow du = {{du} \over {2\sqrt x }} \Rightarrow {{dx} \over {\sqrt x }} = 2du\)
\(\,\,\, \Rightarrow \int {{{dx} \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}} = \int {{{2u} \over {{u^2}}}} = - {2 \over u} + C = - {2 \over {1 + \sqrt x }} + C.\)