Nội dung bài giảng
Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng d biết :
a) d là giao tuyến của hai mặt phẳng
\(\left( \alpha \right):x - 3y + z = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):x + y - z + 4 = 0\)
b) d là giao tuyến của mặt phẳng \(y-2z+3=0\) với mặt phẳng tọa độ (Oyz).
Giải
a) Cách 1. Điểm M(x; y; z)\( \in d\) khi tọa độ của M là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{ x - 3y + z = 0 \hfill \cr x + y - z + 4 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Đặt y=t ta có \(\left\{ \matrix{ x + z = 3t \hfill \cr x - z = - 4 - t \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 + t \hfill \cr z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình tham số của d là :
\(\left\{ \matrix{ x = - 2 + t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\)
Cách 2. Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y=0 trong hệ \(\left( * \right).\)
Ta có hệ \(\left\{ \matrix{ x + z = 0 \hfill \cr x - z = - 4 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr z = 2. \hfill \cr} \right.\)
Vậy điểm \({M_0}( - 2;0;2)\) thuộc đường thẳng d.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
\(\overrightarrow u = \left( {\left| \matrix{ - 3 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 3 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|} \right) = (2;2;4)\)
Vậy phương trình tham số của d là
\(d:\left\{ \matrix{ x = - 2 + 2t \hfill \cr y = 2t \hfill \cr z = 2 + 4t. \hfill \cr} \right.\)
b) Mặt phẳng (Oyz): \(x=0\) tương tự câu a ta tìm được giao tuyến d có phương trình là:
\(\;d:\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = - 3 + 2t \hfill \cr z = t. \hfill \cr} \right.\)