Nội dung bài giảng
a) Cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7;4),C=(x;y;6).
Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng
b) Cho hai điểm A(-1;6;6), B(3;-6;-2).
Tìm điểm M thuộc \(mp\left( {Oxy} \right)\) sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Giải
a) A,B,C thẳng hàng\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{ x - 2 = k \hfill \cr y - 5 = 2k \hfill \cr 3 = k \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 5 \hfill \cr y = 11 \hfill \cr k = 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy với x = 5, y = 11 thì A, B, C thẳng hàng.
b) Vì \({z_A} = 6,{z_B} = - 2 \Rightarrow {z_A}.{z_B} < 0 \Rightarrow A,B\) ở hai phía của mp(Oxy).
Vậy MA + MB nhỏ nhất khi A, B, M thẳng hàng hay
\(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \overrightarrow 0 .\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \) (4;-12;-8).
Giả sử M(x;y;0)\( \in mp\left( {Oxy} \right)\) thì \(\overrightarrow {AM} = (x + 1;y - 6; - 6).\)
\(\eqalign{ & \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right]\cr& = \left( {\left| \matrix{ y - 6 \hfill \cr - 12 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 6 \hfill \cr - 8 \hfill \cr} \right|\left| \matrix{ - 6 \hfill \cr - 8 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ x + 1 \hfill \cr 4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ x + 1 \hfill \cr 4 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ y - 6 \hfill \cr - 12 \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = ( - 8y - 24;8x - 16; - 12x - 4y + 12). \cr} \)
Ta có : \(\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 8y - 24 = 0 \hfill \cr 8x - 16 = 0 \hfill \cr - 12x - 4y + 12 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = - 3. \hfill \cr} \right.\)
Vậy MA + MB ngắn nhất khi \(M=(2;-3;0)\).