Nội dung bài giảng
Bài 62.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y = {{x - 1} \over {x + 1}}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.
Giải
Tập xác định:
\(\eqalign{
& D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\} \cr
& \cr} \)
Sự biến thiên:
\(y' = {2 \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0\,\forall x \in D\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\)
Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \)
Tiệm cận đứng: \(x=-1\)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\)
Tiệm cận ngang: \(y=1\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao \(Ox\) tại điểm \((1;0)\)
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)
b) Giao điểm của hai tiệm cận của đường cong là \(I(-1;1)\)
Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OI} \) là
\(\left\{ \matrix{
x = X - 1 \hfill \cr
y = Y + 1 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ \(IXY\) là:
\(Y + 1 = {{X - 1 - 1} \over {X - 1 + 1}} \Leftrightarrow Y + 1 = {{X - 2} \over X} \Leftrightarrow Y = - {2 \over X}\)
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng.