Nội dung bài giảng
Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn đường thẳng :
\(\eqalign{ & {d_1}:{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 2} = {z \over { - 2}},\cr&{d_2}:{{x - 2} \over 2} = {{y - 2} \over 4} = {z \over { - 4}}. \cr & {d_3}:{x \over 2} = {y \over 1} = {{z - 1} \over 1},{d_4}:{{x - 2} \over 2} = {y \over 2} = {{z - 1} \over { - 1}}. \cr} \)
a) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
b) Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Giải
a) Đường thẳng d1 đi qua điểm M1 ( 1 ; 2; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \)(1 ; 2; -2). Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(2 ; 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) (2 ; 4 ; -4). Rõ ràng \(\overrightarrow {{u_2}} \)= 2\(\overrightarrow {{u_1}} \) nên d1, d2 cùng nằm trên một mặt phẳng, ta gọi là mp(\(\alpha \))
Ta có vectơ pháp tuyến của mp(\(\alpha \)) là
\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right]= (0 ; -2 ; -2)\).
Vậy phương trình mặt phẳng (\(\alpha \)) là:
\(0(x - 1) - 2(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)
(\(\alpha ): y + z - 2 = 0.\)
b) Gọi A là giao điểm của đường thẳng d3 và mp(\(\alpha \)). Toạ độ của A thoả mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ x = 2t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 1 + t \hfill \cr y + z - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow t = {1 \over 2}\)
Suy ra A= \(\left( {1;{1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\)
Gọi B là giao điểm của đường thẳng d4 và mp(\(\alpha \)). Tương tự như trên, ta có B = (4 ; 2 ; 0).
Đường thẳng AB nằm trong (\(\alpha \)) cắt cả d3 và d4.
Mặt khác \(\overrightarrow {AB} \) =\(\left( {3;{3 \over 2}; - {3 \over 2}} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \)(1 ; 2 ; -2). Do đó AB cắt cả d] và d2. Vậy AB chính là đường thẳng d cần tìm.
\(d:{{x - 4} \over 2} = {{y - 2} \over 1} = {z \over { - 1}}\)