Nội dung bài giảng
Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' = a, AB = b, AD = c\).
a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\) với mặt cầu trên.
Giải:
a) Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo \(AC', BD', CA' và DB'\) cắt nhau tại điểm \(I\) là trung điểm của mỗi đường.
Vì \(4\) đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm \(I\) cách đều \(8\) đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.
Vì \(AB = b, AD = c, AA' = a\) nên bán kính mặt cầu \(R = {1 \over 2}A'C = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \).
b) Giao tuyến của mặt phẳng\(( ABCD)\) với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\). Nên bán kính của đường trong giao tuyến là:
\(r = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \)