Nội dung bài giảng
Bài 8. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu
(S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0\)
và song song với hai đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = - 5 + 2t \hfill \cr
y = 1 - 3t \hfill \cr
z = - 13 + 2t \hfill \cr} \right.\)
\(d':\left\{ \matrix{
x = - 7 + 3k \hfill \cr
y = - 1 - 2k \hfill \cr
z = 8 \hfill \cr} \right.\)
Giải
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (2; -3; 2)\)
\(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = (3; -2; 0)\)
Mặt phẳng \((α)\) song song với \(d\) và \(d'\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n \) = (4; 6; 5)
Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(4x + 6y + 5z + D = 0\)
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(5; -1; -13)\) và bán kính \(R = 5\). Để \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\), ta phải có:
\(d(I, (α)) = R \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6( - 1) + 5( - 13) + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5\)
\( \Leftrightarrow \left| {D - 5} \right| = 5\sqrt {77} \)
Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:
+) \(D - 51 = 5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77} = 0\)
+) \(D - 51 = -5\sqrt{77}\) \( \Rightarrow ({\alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 - 5\sqrt {77} = 0\)