Nội dung bài giảng
Bài 2.Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
a) \(f(x) = \frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\) ; b) \( f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}\)
c) \(f(x) = \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\); d) \(f(x) = sin5x.cos3x\)
e) \(f(x) = tan^2x\) g) \(f(x) = e^{3-2x}\)
h) \(f(x) =\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\) ;
Giải:
a) Điều kiện \(x>0\). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:
\(f(x) = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}\) = \(x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\) = \(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}\)
\(∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx\) = \(\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\) +C
b) Ta có \(f(x) = \frac{2^{x}-1}{e^{x}}\) = \((\frac{2}{e})^{x}\)\(-e^{-x}\)
; do đó nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(F(x)= \frac{(\frac{2}{e})^{x}}{ln\frac{2}{e}} + e^{-x}+C\) =\(\frac{2^{x}}{e^{x}(ln2 -1)}+\frac{1}{e^{x}}+C\)= \(\frac{2^{x}+ln2-1}{e^{x}(ln2-1)} + C\)
c) Ta có \(f(x) = \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}=\frac{4}{sin^{2}2x}\)
hoặc \(f(x) =\frac{1}{cos^{2}x.sin^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sin^{2}x}\)
Do đó nguyên hàm của \(f(x)\) là \(F(x)= -2cot2x + C\)
d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:
\(f(x) =sin5xcos3x = \frac{1}{2}(sin8x +sin2x)\).
Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là
\(F(x)\) = \(-\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{4}cos8x + cos2x) +C\)
e) Ta có \(tan^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x}-1\)
vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là \(F(x) = tanx - x + C\)
g) Ta có \(\int {{e^{3 - 2x}}} dx = - {1 \over 2}\int {{e^{3 - 2x}}} d(3 - 2x) = - {1 \over 2}{e^{3 - 2x}} + C\)
h) Ta có :\(\int \frac{dx}{(1+x)(1-2x))}=\frac{1}{3}\int (\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-2x})dx\)
= \(\frac{1}{3}(ln\left | 1+x \right |)-ln\left | 1-2x \right |)+C\)
= \(\frac{1}{3}ln\left | \frac{1+x}{1-2x} \right | +C\).