Nội dung bài giảng
Cho hàm số \(f(x) = 2\sin x + \tan x - 3x\)
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
b) Chứng minh rằng
\(2\sin x + \tan x > 3x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Giải
a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) , ta có
\(f'(x) = 2\cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 3\)
\( = {{2{{\cos }^3}x - 3\cos x + 1} \over {{{\cos }^2}x}}\)
\( = {{{{(1 - cosx)}^2}(2\cos x + 1)} \over {{{\cos }^2}x}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
b) Từ a) suy ra \(f(x) > f(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\), tức là ta có bất đẳng thức cần chứng minh.