Nội dung bài giảng
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(y = {{{x^2} - 3x + 1} \over x}\)
b) Với các giá trị nào của m, đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m, tại hai điểm phân biệt A và B.
c) Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
Giải
b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho là nghiệm của phương trình
\({{{x^2} - 3x + 1} \over x} = m\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 = 0\) . (1)
Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, tức là
∆ = \({\left( {m + 3} \right)^2} - 4 > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0\)
\( \Leftrightarrow m < - 5\) hoặc \(m > - 1\) . (2)
c) Khi đó , tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
\({x_M} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{m + 3} \over 2}\) và \({y_M} = m.\) (3)
Từ đó suy ra
\({x_M} = {{{y_{_M}} + 3} \over 2}\) hay \({y_M} = 2{x_M} - 3.\)
Vậy điểm M nằm trên đường thẳng \(y = 2x - 3.\)
Từ (3) suy ra \(m = 2{x_M} - 3.\)
Từ (2) ,ta có
\(\left[ \matrix{2{x_M} - 3 < 5 \hfill \cr 2{x_M} - 3 > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_M} < - 1 \hfill \cr {x_M} > 1. \hfill \cr} \right.\)
Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m lấy giá trị trong tập hợp \(\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup ( - 1; + \infty )\) là phần của đường thẳng
\(y = 2x - 3\) ứng với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup ( 1; + \infty )\)
Đó là hai nửa đường thẳng.