Nội dung bài giảng
a) Cho a > 0. Chứng minh rằng
\(\int\limits_\alpha ^\beta {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \)
trong đó r và k là các số thực thỏa mãn \({\rm{tan}}r = {\beta \over a},\tan k = {\alpha \over a}\)
b) Tính \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}} \)
Giải
a) Đặt \(x = {\rm{a}}\tan u\). Khi đó
\(dx = {{adu} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}u}},{x^2} + {a^2} = {a^2}\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right) = {{{a^2}} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}u}}\)
Theo công thức biến đổi, ta có:
\(\int\limits_\alpha ^\beta {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}}} = \int\limits_k^r {{{du} \over a} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \) với \(\tan r = {\beta \over \alpha },\tan k = {\alpha \over a}\)
b) Đặt \(u = \tan {x \over 2}\). Khi đó \(dx = {{2du} \over {1 + {u^2}}}.\)Mặt khác
\(2 + c{\rm{os}}x = 2 + {{1 - {u^2}} \over {1 + {u^2}}} = {{3 + {u^2}} \over {1 + {u^2}}}\),
Vậy theo a) ta có
\(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}} = \int\limits_0^1 {{{1 + {u^2}} \over {3 + {u^2}}}.{{2du} \over {1 + {u^2}}} = } 2\int\limits_0^1 {{{du} \over {{u^2} + 3}} = } {2 \over {\sqrt 3 }}\int\limits_0^{{\pi \over 6}} {du} \)
\(= {{\pi \sqrt 3 } \over 9}\)