Nội dung bài giảng
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) \(x = {{\sqrt {2y} } \over {{y^2} + 1}},y = 0,y = 1\)
b) \(x = 2x - {x^2},y = 0,x = 2\)
c) Hình tròn có tâm \(I\left( {2;0} \right)\), bán kính = 1
Giải
a) \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{2y} \over {{{\left( {{y^2} + 1} \right)}^2}}}dy = } {\pi \over 2}\)
b) Ta có \(x = 1 + \sqrt {1 - y} \) hoặc \(x = 1 - \sqrt {1 - y} \). Vậy
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} dy - \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} dy \)
\(= 4\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy = {{8\pi } \over 3}} \)
c) Ta có \(x = 2 + \sqrt {1 - {y^2}} \) hoặc \(x = 2 - \sqrt {1 - {y^2}} \). Vậy
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2 + \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2}} dy\)
\(- \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2 - \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2}} dy \)
\(= 16\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {y^2}} dy = 4{\pi ^2}} \)
Để tính tích phân trên ta đổi biến \(y = \sin t\)