Nội dung bài giảng
Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:
a) \(\sin \varphi + i2{\sin ^2}{\varphi \over 2}\)
b) \({\rm{cos}}\varphi + i\left( {1 + \sin \varphi } \right)\)
Giải
a) \(\sin \varphi +2 i{\sin ^2}{\varphi \over 2} = 2\sin {\varphi \over 2}\left( {{\rm{cos}}{\varphi \over 2} + isin{\varphi \over 2}} \right),\) nên
khi \(\sin {\varphi \over 2} = 0,\) số đó có dạng lượng giác không xác định
khi \(\sin {\varphi \over 2} > 0,\) dạng viết trên là dạng lượng giác của số đã cho.
Khi \(\sin {\varphi \over 2} < 0,\) số đó có dạng lượng giác
\( - 2\sin {\varphi \over 2}\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\varphi \over 2} + \pi } \right) + isin\left( {{\varphi \over 2} + \pi } \right)} \right]\)
b) \({\rm{cos}}\varphi + i\left( {1 + \sin \varphi } \right) \)
\(= \sin \left( {\varphi + {\pi \over 2}} \right) + i\left[ {1 - c{\rm{os}}\left( {\varphi + {\pi \over 2}} \right)} \right]\)
\(=sin\left( {\varphi + {\pi \over 2}} \right) + i2{\sin ^2}\left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\)
Nên theo câu a) ta có:
Khi \(\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = 0,\) số đã cho có dạng lượng giác không xác định.
Khi \(\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right) > 0,\) số đã cho có dạng lượng giác
\( 2\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right) + isin\left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right)} \right]\)
Khi \(\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right) < 0,\) số đã cho có dạng lượng giác
\( - 2\sin \left( {{\varphi \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\varphi \over 2} + {{5\pi } \over 4}} \right) + isin\left( {{\varphi \over 2} + {{5\pi } \over 4}} \right)} \right]\)