Nội dung bài giảng
Tìm số phức z, biết:
a) \(\bar z = {z^3}\) b) \(|z| + z = 3 + 4i\)
Hướng dẫn làm bài
a) Ta có \(z\bar z = |z{|^2}\) nên từ \(\bar z = {z^3} \Rightarrow |z{|^2} = {z^4}\)
Đặt z = a+ bi , suy ra:
\({a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} + 4ab({a^2} - {b^2})i = {a^2} + {b^2}\) (*)
Do đó, ta có: \(4ab({a^2} - {b^2}) = 0\) (**)
Từ (**) suy ra các trường hợp sau:
+) a = b = 0 ⟹ z = 0
+) \(a = 0,b \ne 0\) : Thay vào (*), ta có \({b^4} = {b^2} \Rightarrow b = \pm 1 \Rightarrow z = \pm i\)
+) \(b = 0,a \ne 0\) : Tương tự, ta có \(a = \pm 1 \Rightarrow z = \pm 1 \)
+) \(a \ne 0,b \ne 0 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 0 \Rightarrow {a^2} = {b^2}\) , thay vào (*) , ta có:
2a2(2a2 + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì \(a \ne 0\) )
b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i suy ra
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i \Rightarrow b = 4\) và \(\sqrt {{a^2} + 16} + a = 3\)
\( \Rightarrow {a^2} + 16 = {(3 - a)^2} = 9 - 6a + {a^2}\)
\(\Rightarrow 6a = - 7 \Rightarrow a = - {7 \over 6}\)
Vậy \(z = - {7 \over 6} + 4i\)