Câu 7 trang 46 SGK Giải tích 12


Nội dung bài giảng

Bài 7.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số:

\(y = x^3+ 3x^2+ 1\)

b) Dựa vào đồ thị \((C)\), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m

 \({x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\)

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị \((C)\)

Trả lời:

a) \(y = x^3+ 3x^2+ 1\)

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

\(y’= 3x^2+ 6x = 3x(x+ 2)\)

\(y’=0  ⇔ x = 0, x = -2\).

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\)

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\); \(y_{CĐ}=5\)

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=1\).

- Giới hạn:

    \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \)

- Bảng biến thiên:

 

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao \(Oy\) tại \((0;1)\)

Đồ thị hàm số nhận \(I(-1;3)\) làm tâm đối xứng.

 

b) Số nghiệm của phương trình \({x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\) chính là số giao điểm của \((C)\) và đường thẳng \((d)\): \(y = {m \over 2}\) 

Từ đồ thị ta thấy:

- Với \({m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

- Với \({m \over 2} = 1  ⇔ m = 2\): (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm

- Với \(1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2<m<10\), phương trình có 3 nghiệm.

- Với  \({m \over 2} = 5 \Leftrightarrow m = 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \({m \over 2} > 5 \Leftrightarrow m > 10\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

c) Điểm cực đại \((-2, 5)\), điểm cực tiểu \((0, 1)\). 

Đường thẳng đi qua hai  điểm này có phương trình là: \({{y - 1} \over 4} = {x \over { - 2}} \Leftrightarrow y =  - 2x + 1\)