Nội dung bài giảng
Bài tập (trang 80->82 sgk Hình Học 12 nâng cao)
Bài 1 (trang 80 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Trong hệ tọa độ (0, i→,j→,k→) cho các vectơ
u→=i→-2j→;v→=3i→+5(j→-k→ );w→=2i→-k→+3j→
a) Tìm tọa độ của vectơ đó;
b) Tìm côsin của các góc (v→,i→),(v→,j→ )và (v→,k→)
c) Tính các tích vô hướng u→,v→,u→.w→,v→.w→
Lời giải:
Bài 2 (trang 80 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Trong hệ tọa độ (0,i→,j→,k→) cho véctơ tùy ý khác 0→. Chứng minh rằng: cos2(u→ ,i→)+cos2(u→,j→ )=1 .
Lời giải:
Giả sử u→=(a,b,c), ta có:
Bài 3 (trang 81 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Tìm góc giữa hai vectơ u→ và v→ trong mỗi trường hợp
a) u→=(1,1,1);v→=(2,1,-1)
b) u→=3.i→+4j→;v→=-2j→+3k→
Lời giải:
Bài 4 (trang 81 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Biết |u→|=2;|v→ |=5, góc giữa u→ và v→ bằng 2π/3. Tìm k để vectơ p→=k u→+17v→ vuông với vectơ q→=3u→-v→.
Lời giải:
Để p→ vuông góc với q→ thì p→.q→=0
<=> (k u→+17v→ )(3u→-v→ )=0
<=> 3k.u→2-k.u→.v→+51 v→.u→-17v→2=0
<=> 12k+5k-255-17.25=0 (vì u→.v→=|u→||v→ | cos(u→,v→)=-5
<=> 17k=680 <=> k = 40. Vậy K = 40 là giá trị cần tìm.
Bài 5 (trang 81 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M (a, b, c).
a) Tìm tọa độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng tọa độ và các trục tọa độ.
b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt tọa độ, đến các trục tọa độ.
c) Tìm tọa độ các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải:
a) Hình chiếu của M lên mp(Oxy) tọa độ là: (a, b, 0)
Tương tự, hình chiếu của M lên mp(Oxz) và mp(Oyz) lần lượt có tọa độ là: (a, 0, c) và (0, b, c).
Hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa đố là: (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)
b) Ta có: d(M,(Oxy)=|c|,d(M,(Oxz)=|b|,d(M,9Oyz))=|a|
c) Điểm đối xứng của M = (a, b, c) qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz) và (Oyz) lần lượt có tọa độ là
(a, b, -c); (a, -b, c) và (-a, b, c)
Bài 6 (trang 81 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hai điểm A(x1,y1,z1) và B(x2,y2,z2). Tìm tọa độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số K (tức MA→=k (MB→) k ≠ 1
Lời giải:
Giả sử M=(x,y,z) khi đó MA→=(x1-x,y1-y,z1-z) và k MB→=(k(x2-x);k(y2-y);k(z2-z))
Để MA→=k MB→ thì
Bài 7 (trang 81 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình bình hành ABCD, biết A(-3, -2, 0), B(3, -3, 1), C(5, 0, 2). Tìm tọa độ đỉnh D và góc giữa hai vectơ AC→ và BD→
Lời giải:
Gọi D = (x, y, z), để ABCD là hình bình hành thì AD→=BC→
Ta có: AD→=(x+3,y+2,z),BC→=(2,3,1)
Khi đó, ta có BD→=(-4,4,0)và AC→=(8,2,2)
Suy ra
Bài 8 (trang 81 sgk Hình Học 12 nâng cao):
a) Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho M cách đều hai điểm A(1, 2, 3) và B(-3, -3, 2)
b) Cho ba điểm A(2, 0, 4) và B(4, √3, 5) và C(sin 5t, cos 3t, sin 3t). Tìm t để AB vuông góc với OC (O là gốc tọa độ).
Lời giải:
a) Gọi M = (a, 0, 0) thuộc Ox thỏa mãn MA = MB.
Ta có: MA2=(1-a)2+4+9=a2-2a+14
MB2=(3+a)2+9+4=a2+6a+22
Để MA = MB thì MA2=MB2 <=> a2-2a+14=a2+6a+22 <=> a = -1
Vậy M = (-1, 0, 0) là điểm cần tìm.
b) Ta có AB→=(2,√3,1),OC→=(sin5t+√3 cos3t+sin3t=0
Để AB⊥OC thì AB→.OC→=0 <=>2 sin5t+√3 cos3t+sin3t=0
Với k, n ∈ Z
với n, k ∈Z là những giá trị cần tìm.
Bài 9 (trang 81 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Xét sự đồng phẳng của ba vectơ u→,v→ và w→ trong mỗi trường hợp sau:
a) u→(4,3,4);v→=(2; -1,2);w→(1,2,1)
b) u→(1,-1,1),v→=(0,1,2),w→(4,2,3)
c) u→(4,2,5),v→=(3,1,3),w→(2,0,1)
Lời giải:
Để xét tính đồng phẳng của u→,v→ và w→ ta xét [u→,v→ ].w→
Nếu [u→,v→ ].w→=0 thì u→,v→,w→ đồng phẳng.
a) Ta có
Nên [u→,v→ ].w→=10.1+0.2+(-10).1=0
Vậy u→,v→ và w→ đồng phẳng
b) u→,v→ và w→ không đồng phẳng.
c) u→,v→ và w→ đồng phẳng.
Bài 10 (trang 81 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 0, 1), C(2, 1, 1)
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC.
d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.
e) Tính các góc của tam giác ABC.
Lời giải:
a) Ta có AB→=(-1,0,1), AC→=(1,1,1), ta thấy AB→ và AC→ không cùng Phương nên A, B, C không thẳng hàng.
b) Gọi D = (x, y, z), ta có AD→=(x-1,y,z),BC→=(2,1,0). Để ABCD là hình bình hành thì AC→=BC→, hay
c) Chu vi ΔABC là: P=AB+BC+AC=√2+√5+√3
Diện tích ΔABC là:
c) Chu vi ΔABC là: P=AB+BC+AC=√2+√5+√3
Diện tích ΔABC là:
Bài 11 (trang 81 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho bốn điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) và D(-2, 1, -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b) Tính góc bởi các cạnh đối của tứ diện đó. Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Lời giải:
a) Ta có AB→=(-1,1,0),AC→=(-1,0,1),AD→=(-3,1,2) nên ta có: [AB→,AC→ ]=(1,1,1), suy ra [AB→,AC→ ].AD→=-4 ≠ 0. Vậy A, B, C, d không đồng phẳng, hay A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện.
b)Ta có:
Bài 12 (trang 82 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tạo C, AC = b, Bc = a. gọi M là trung điểm của AC và N là trung điểm sao cho:
a) Tính độ dài MN.
b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: gốc tọa độ O trùng với A, Ox là tia AC. Khi đó, ta có:
A = (0, 0, 0), B(b, a, 0), C = (b, 0, 0), S = (0, 0, h) và
SB→=(b,a,-h)
a) Ta có
b) Để MN ⊥ SB thì MN→.SB→=0
Bài 13 (trang 82 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu sau đây:
a) x2+y2+z2-8x+2y+1=0
b) 3x2+3y2+3z2+6x-3y=15z-2=0
c) 9x2+9y2+9z2-6x+18y+1=0
Lời giải:
a) Ta có: x2+y2+z2-8x+2y+1=0
<=> x2+y2+z2-y+5z-2/3=0
Nên mặt cầu có tâm la I(4, -1, 0) và bán kính R = 4.
b) Ta có: 3x2+3y2+3z2+6x-3y+15z-2=0
c) Ta có: 9x2+9y2+9z2-6x+18y+1=0
Nên mặt cầu có tâm là I = (1/3; -1,0) và bán kính R = 1.
Bài 14 (trang 82 sgk Hình Học 12 nâng cao):
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt cầu:
a) Đi qua ba điểm A(0, 8, 0), B(4, 6, 2), C(0, 12, 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz).
b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox.
c) Có tâm I(1, 2, 3) và tiếp xúc với mp(Oyz).
Lời giải:
a) Vì tâm mặt cầu nằm trên mp(Oyz) nên ta gọi tâm mặt cầu là I = (0, b, c).
Vì cầu đi qua A, B, C nên ta có hệ:
Vậy Phương trình mặt cầu là: x2+(x-7)2+(z-5)2=26
b) Vì tâm mặt cầu mặt cầu nằm trên Ox nên ta gọi tâm mặt cầu là I(a, 0, 0). Vì mặt cầu tiếp xúc với (Oyz) nên bán kính R = d(I, (Oyz)= |a| theo bài ra ta có a = 2.
Vậy Phương trình mặt cầu là: (x-2)2+y2+z2=4
c) Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm I(1, 2, 3) nên ta có bán kính mặt cầu là: R = d(I, (Oyz)) = 1
Vậy Phương trình mặt cầu là: (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=1