Giải bài tập sgk Toán nâng cao Bài 2: Cực trị của hàm số

Nội dung bài giảng

Bài tập (trang 16-17 sgk Giải Tích 12 nâng cao)

Bài 11 (trang 16 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a)     Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có: f’(x) = x2+4x+3

Từ đó f’(x) = 0 <=> x = -1 hoặc x = -3

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = -3, giá trị cực đại của hàm số là: fCĐ=f(-3)=-1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, giá trị cực tiển của hàm số là fCT=f(-1)=-7/3

b)     Tập xác định: R

f' (x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∀x ∈R=>f(x) luôn đồng biến nên hàm số không có cực trị.

c)     Tập xác định: R \ {0}

Bảng biến thiên

Vậy hàm số cực đại tại x = -1; fCĐ=f(-1)=-2

Hàm số cực tiểu tại x = 1; fCT=f(1)=2

d)     f(x) xác định liên tục trên R.

ta có:

bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, fCĐ=f(-1)=1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, fCT=f(0)=1

e)     tập xác định: R

f’(x) = x4-x2;f' (x)=0 <=> x = 0 hoặc x=±1

bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, fCĐ=f(-1)=32/15

Hàm số cực tiểu tại x = 1; fCT=f(1)=28/15

f)     Tập xác định: R \ {1}

f' (x)=0 <=> x = 0 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số cực đại tại x = 0, fCĐ=f(0)=-3

Hàm số cực tiểu tại x = 2; fCT=f(2)=1

Bài 12 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Tìm cực trị của hàm số sau:

Lời giải:

a)     Tập xác định: [-2; 2]

y'=0 <=> x=±√2

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại x=-√2,yCT=y(-√2 )=-2

Hàm số đạt cực đại tại x = √2,yCĐ=y(√2)=2

b)     Tập xác định: [-2√2;2√2]

Bảng biến thiên:

Hàm số cực đại tại x = 0; yCĐ=y(0)=2√2

Hàm số không có cực tiểu.

c)     Tập xác định: R

y'=(x-sin⁡2x+2)'=1-2 cos⁡2x

Vậy hàm số cực đại tại điểm

Hàm số đạt cực tiểu tại tiểu

d)     Tập xác định: R

y'=2 sin⁡x+2.sin⁡2x=2 sin⁡x(1+2 cos⁡x )

=> y'' (k π)>0 (có thể viết: y'' (k π)=4+2 cos⁡(k π)

Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

nên hàm số đạt cực đại tại các điểm.

Bài 13 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax^3+bx^2+cx+d sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; f(0) = 0 đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1

Lời giải:

Ta có f’(x) = 3ax2+2bx+c=>f' (0)=c;f' (1)=3a+2b+c

Vì f(0) = 0 =>d= 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 nên f’(0) = 0 => c =0; f(1) = a + b = 1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 nên f’(1) = 0 => 3a + 2b = 0

ta được a = -2; b = 3

Vật f(x) = -2x2+3x2

Thử lại f’(x) = -6x2+6x;f'' (x)=-12x+6

f’’(0) > 0. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0

f’’(1) = -6 < 0. Hàm số đạt cực đại tại x = 1

Đáp số: a = -2; b = 3; c =3; d = 0

Bài 14 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số: (x) = x3+ax2+bc+c đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 và đồ thị của hàm số đi qua A(1; 0)

Lời giải:

f'(x) = 3x2+2ax+b

Điền kiện cần:

Hàm số đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 => f’(2) = 0 và f(-2) = 0

Hay -4a+b+12=0 (1)và 4a-2b+c-8=0 (2)

Đồ thị đi qua A(1; 0) => a+b+c+1=0

Giải hệ Phương trình (1), (2), (3) ta được a =3; b = 0; c = -2

Điều kiện đủ:

Xét f(x) = x3+3x2-4. Ta có: đồ thị hàm số f(x) đi qua A(1; 0)

f’(x) = 3x3+6x=>f'' (x)=6x+6

f’(-2)= 0; f’’(2) = -6 < 0 nên x = -2 là điểm cực đại và f(-2) = 0

Đáp số:a =3; b =0; c = -4

Bài 15 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n hàm số luôn có cực đại và cực tiểu..

Lời giải:

Hàm số được viết lại là:

Hàm số xác định ∀x ≠ m

Bảng biến thiên

Vậy với mọi giá trị của m, hàm số đạt được cực đại tại x = m -1 và đạt cực tiểu tại x = m + 1