Nội dung bài giảng
Bài tập (trang 43-44 sgk Giải Tích 12 nâng cao)
Bài 40 (trang 43 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x3+3x2-4
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải:
a) TXĐ: R
y'>0 trên khoảng (-∞; -2)và (0; +∞)
y'<0 trên khoảng (-2; 0)
yCĐ=y(-2)=0; yCT=y(0)=-4
y''=6x+6=6(x+1)=0 <=> x = -1
Bảng xét dấu y’’
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1)
Hàm số lõm trên khoảng -1; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn u(-1; -2)
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)
b) Hàm số y=x3+3x2-4 có điểm uốn u(-1; -2)
Ta có: y'=3x2-4 ; y’(-1) = -3
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn u(-1; -2) có dạng
y-y0=y'(x0)(x-x0)
<=> y+2=-3(x+1)
<=> y=-3x-5
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x - 5.
c) Đồ thị nhận I(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:
f(x0+x)+f(x0-x)=2y0 với ∀x
<=> f(x-1)+f(-x-1)=-4 ∀x
<=> (x-1)3+3(x-1)2-4+(-1-x)3+3(-1-x)2-4 ∀x
<=> x3-3x2+3x-1+3x2-6x+3-5-3x-3x2-x3+3+6x+3x2-4=-4 ∀x
<=>-4=4 ∀x
=> I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.
Bài 41 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=-x3+3x2-1
b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x3+3x2-1=m
Lời giải:
a) y=-x3+3x2-1. Tập xác định D = R
y'=-3x^2+6x
- Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0)và (2; +∞)
y_CĐ=y(2)=3; y_CT=y(0)=-1
y''=-6x+6;y''=0 => x = 1
- Hàm số lồi trên khoảng (-∞;1) lõm trên khoảng (1;+∞)
- Hàm số có một điểm uốn I(1; 1)
Bảng biến thiên:
Đồ thị đi qua (0; -1)
b) -x3+3x2-1=m (*)
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị y=-x3+3x2-1 với đường thẳng y = m.
Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:
- Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm
- Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.
- Nếu -1 < m < 3 : Phương trình (*) có 3 nghiệm
- Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.
- Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.
Kết luận:
Bài 42 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Lời giải:
a) * TXĐ: R
y'> 0 trên khoảng (-∞; -1)và(3; +∞)
y'< 0 trên khoảng (-1; 3)
yCT=y(3)=-32/3;yCĐ=y(-1)=0
y''=2x-2=2(x-1)=0 <=> x = 1
Bảng xét dấu y’’
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1).
Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn u(1; -16/3)
Bảng biến thiên
- Đồ thị
Đi qua (0; -5/3);(5;0)
b) TXĐ: R
y'=3x^2-3=0 <=> x=±1
y'> 0 trên khoảng (-∞; -1)và (1; +∞)
y'< 0 trên khoảng (-1; 1)
yCĐ=y(-1)=3;yCT=y(1)=-1
Bảng xét dấu y’’
Hàm số có 1 điểm uốn u(0; 1)
• Bảng biến thiên
• Đồ thị
Đi qua (0; 1)
+ Tập xác định D = R.
y'=-x2+2x-2=-[(x-1)2+1]<0 ∀x ∈D
- Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)
- Hàm số không có cực trị
- Đồ thị không có tiệm cận.
y''=-2x+2;y''=0 => x = 1
- Hàm số lồi trên (1; +∞)lõm trên (-∞;1) nhận I(1; -2) làm điểm uốn.
Bảng biến thiên.
d) y=x3-3x2+3x+1
Tập xác định D = R
y'=3x2-6x+3=3(x-1)2>0 ∀x ∈D
- Hàm số luôn đồng biến (-∞; +∞)
- Hàm số không có cực trị
- Đồ thị không có tiệm cận
y''=6x-6;y''=0 => x = 1
- Đồ thị lồi trên (-∞;1)
- Đồ thị lõm trên (1; +∞)
Đồ thị nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.
Bảng biến thiên
Bài 43 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y=-x4+2x2-2
b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x4+2x2-2=m
c) Viết Phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.
Lời giải:
a) TXĐ: R
* y'=-4x3+4x=4x(-x2+1)=0
y'>0 trên khoảng (-∞; -1)và (0;1)
y'<0 trên khoảng (-1;0) và (1; +∞)
yCT=y(0)=-2;yCĐ=y(-1)=-1
- y''=-12x2+4=4(-3x2+1)=0
Bảng xét dấu y’’
Bảng biến thiên.
• Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; -2)
b) Số nghiệm của Phương trình -x4+2x2-2=m (1) là giao điểm của đồ thị y=-x4+2x2-2 với đường thẳng y = m.
Nếu m > -1 thì Phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu m = 1 thì Phương trình (1) có 2 nghiệm.
Nếu -2 < m < -1: Phương trình có 4 nghiệm.
Nếu m = -2 phương trình (1) có 3 nghiệm
Nếu m < -2: Phương trình (1) có 2 nghiệm
Kết luận:
m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.
Phương trình (1) có 2 nghiệm.
m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.
-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.
c) Hàm số y=-x4+2x2-2 có 2 điểm uốn đó là:
Phương trình tiếp tuyến uốn
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến:
Bài 44 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y=x4-3x2+2 b) y=-x4-2x2+1
Lời giải:
a) TXĐ: R
y'=4x3-6x=2x(2x2-3)=0
•Bảng xét dấu y’’
• Bảng thiên thiên
• Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Giao với Oy (0; 2)
Giao với Ox (-1; 0); (1; 0)
(-√2;0);(√2;0)
b) y=-x4-2x2+1
TXĐ: R
y'=-4x5-4x=4x(x2-1)=0 <=> x=0
y'> 0 trên khoảng (-∞;0),y'< 0 trên khoảng (0; +∞)
yCĐ=y(0)=1
y''=-12x2-4<0 ∀x ∈R
Bảng xét dấu y’’
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; +∞)
Bảng biến thiên
Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; 1)
