Giải bài tập sgk Toán nâng cao Bài 7: Phương trình mũ và lôgarit

Nội dung bài giảng

Bài tập (trang 123-124-125 sgk Giải Tích 12 nâng cao)

Bài 63 (trang 123 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các Phương trình sau:

a) (2+√3)2x=2-√3

b) 2x2-3x+2=4

c) 2.3x+1-6.3x-1-3x=9

d) log3(3x+8)=2+x

Lời giải:

a)     (2+√3)2x=2-√3 <=> (c+√3)2x=(2+√3)-1 <=> 2x = -1 <=> x=-1/2

Cách khác: (2+√3)2x=2-√3 <=> (2-√3)-2x=2-√3 <=> x=-1/2

c)     2.3x+1-6.3x-1-3x=9 <=> 6.3x-2.3x-3x=9 <=> 3.3x=9 <=> 3x=3 <=> x=1

d)     log3⁡(3x+8)=2+x <=> 3x+8=32+x<=> 3x+8=9.3x <=> 8.3x=8 <=> 3x=1

<=> x= 0

Bài 64 (trang 124 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các Phương trình sau:

a)     log2(x-1)=1           b) log2⁡x+log2(x-1)=1

Lời giải:

a) log2(x-1)=1 <=> (x(x-1))=2 <=> x2-x-2=0

b) log2⁡x+log2(x-1)=1. điều kiện x > 1

Với điều kiện trên, Phương trình đã cho tương đương với Phương trình

Vậy Phương trình có một nghiệm là x= 2.

Bài 65 (trang 124 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Trên mặt mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dễ dàng chọn đúng song radio cần tìm. Biết vạch chia ở vị trị cách vạch tâm cũng bên trái một khoảng d(cm) thì ứng với tần số F=k.ad(kHz), trong đó k và a là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng bên trái ứng với tần số 53kHz, vạch tậm cùng bên phải ứng với tần số 160kHz và hai vạch nàu cách nhau 12cm.

a)     Tính k và a (tính a chính xác đến hàng phần nghìn)

b)     Giả sử cho F, hãy giải thích Phương trình k.ad=F với ẩn d.

c)     Áp dụng kết quả của b, hãy điền vào ô trống trong bảng sau (kết quả chính xác đến phần trăm).

Lời giải:

a) Theo giả thiết ta có: d = 0 => F = 53 <=> k.a0=53 <=> k = 53

Và d = 12 => F = 160 <=> k.a12=160

c) Từ câu b) => d = 25,119.lgF-43,312

(do yêu cầu kết quả tính chính xác đến hàng phần trăm)

Vậy ta có bảng.

Bài 66 (trang 124 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các Phương trình sau:

a) 2x+1.5x=200           b) 0,125.42x-3=(4 √2)x

Lời giải:

a)     2x+1.5x=200 <=> 2.10x=200 <=> 10x=100 <=> x = 2

Cách khác: 2x+1.5x=200 <=> 2x+1 54=23.52 <=> 2x-2 5x-2=1 <=> 10x-2=1

<=> x-2=0 <=> x = 2

b)     0,125.42x-3=(4 √2)x <=> (0,5)3.42x-3=(4 √2)x

<=> 2-3.42x-3=(4.21/2 )x <=> 2-3.24x-6=(25/2 )x <=> 24x-6=(25/2)x) <=> 4x-6=5x/2

<=> x = 6

Bài 67 (trang 124 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các Phương trình sau:

a) log2⁡x log4⁡x=log1/2⁡√3      b) log√3⁡x.log3x.log9⁡x=8

Lời giải:

a)     log2⁡x log4⁡x=log1/2⁡√3

<=> log2⁡x+log2⁡⁡x/2=-log2⁡⁡√3 <=> log2⁡⁡x=(-2log2⁡√3)/3

<=> log2⁡⁡x=log2⁡⁡3-1/3 <=> x=3-1/3

b)     log√3⁡x.log3x.log9⁡x=8 <=> 2 log3⁡x.log3⁡x.1/2.log3x=8

<=> (log3⁡x )3=8

<=> log3⁡x=2 <=> x=32=9

Bài 68 (trang 124 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các Phương trình sau:

a)     3x+1 + 18.3-x=29           b) 27x + 12x= 2.8x

Lời giải:

Đặt t=3x (t > 0). Phương trình trở thành

Phương trình trở thành t3 + t-2=0

<=> (t-1)(t2+t+2)=0 <=> t = 1

Bài 69 (trang 124 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các Phương trình sau:

a) lg2x3-20 lg√x+1=0

c) log9x⁡27-log3x⁡3+log9⁡243=0

Lời giải:

a) lg2x3-20 lg√x+1=0 <=> 9 lg2⁡x-10 log⁡x+1=0. Đặt lgx =t

Phương trình trở thành:

Vậy Phương trình có hai nghiệm: x = 10; x=√(9&10)

Phương trình tương dương với:

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là :

c) log6x⁡27-log3x⁡3+log9243=0.

Phương trình đã cho tương dương với:

Vậy Phương trình có tập nghiệm là:

Bài 70 (trang 125 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các phương trình sau:

a) 34x =43x

b) 32-log2⁡x=81x

d) x6.5-logx5=5-5

Lời giải:

a) 34x =43x <=> 4x=3xlog3⁡4

b) 32-log2⁡x=81x.Điều kiện x > 0 lấy logarit hai vế ta được.

2-log3⁡x=4+log3⁡x <=> log3⁡x=-1 <=> x=3-1

Điều kiện x ≠ 1

Logarit hóa hai vế ta được:

d) x6.5-logx⁡5=5-5. Điều kiện 0 < x ≠ 1

Logarit hóa 2 vế theo cơ số x ta được:

Bài 71 (trang 125 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các phương trình sau:

a) 2x=3-x b) log2x=3-x

Lời giải:

a)     Ta thấy x = 1 là nghiệm. ta chứng minh x = 1 là nghiệm duy nhất. thật vậy:

+ x < 1: 2x < 21 < 2

Phương trình vô nghiệm với x < 1

+ x > 1: 2x > 21=2

Phương trình vô nghiệm với x > 2. Vậy Phương trình có nghiệm x = 1.

b)     log2⁡x=3-x. điều kiện: x > 0

Dễ thấy x = 2 là nghiệm của Phương trình, ta chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất. thật vậy:

+ x > 2: log2⁡x > log2⁡2=1

Phương trình vô nghiệm x > 2

+ 0 < x < 2: log2⁡x < log2⁡2=1

Phương trình vô nghiệm 0 < x < 2

Vậy Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.