Nội dung bài giảng
Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Tóm tắt lý thuyết
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
1. Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
- Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
- Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: cho hàm số f có đạo hàm trên K.
- Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc k thì f
đồng biến trên K.
- Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f
nghịch biến trên K.
- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.
4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
a) Tìm tập xác định
b) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
c) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
d) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.