Sự tương giao của đường thẳng và đồ thị hàm số bậc ba

Nội dung bài giảng

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Xét hàm số bậc ba ............ có đồ thị và hàm số bậc nhất có đồ thị .  Lập phương trình hoành độ giao điểm của và : Phương trình là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm.

Ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình có “nghiệm đẹp” . Thường thì đề hay cho nghiệm thì khi đó: 

 

Khi đó:

+ và có ba giao điểm phương trình có ba nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm . (Đây là trường hợp thường gặp)

+ và có hai giao điểm phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm hoặc phương trình có nghiệm kép khác .

+ và có một giao điểm phương trình có một nghiệm phương trình vô nghiệm hoặc phương trình có nghiệm kép là .

Trường hợp 2: Phương trình không thể nhẩm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổi phương trình sao cho hạng tử chứa tất cả nằm bên vế trái, các hạng tử chứa tham số nằm bên vế phải, nghĩa là . Ta khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số và biện luận số giao điểm của và theo tham số .

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị và đường thẳng .

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm: .

Vậy có ba giao điểm

 

Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm (1)

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có ba nghiệm phân biệt. có hai nghiệm phân biệt khác .

Vậy thỏa yêu cầu bài toán.

 

Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của và :

Yêu cầu bài toán có hai nghiệm phân biệt khác 0 .

Vậy thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là .

Vì không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với Xét hàm số với , suy ra .

Vậy .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất . Vậy thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành:

Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của đường và đường thẳng .

Số nghiệm của bằng số giao điểm của và .

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số . Tập xác định . Đạo hàm .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có ba nghiệm phân biệt .

 

Ví dụ 6: Gọi là đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt và tam giác có diện tích bằng (O là gốc tọa độ).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua và có hệ số góc nên có dạng , hay .

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

cắt tại ba điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác .

Khi đó . Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt là .

Tính được .

Khi đó .

Vậy thỏa yêu cầu bài toán.