Nội dung bài giảng
a) Cho hai phân số \({1 \over n}\) và \({1 \over {n + 1}}\left( {n \in Z,n > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng.
b) Áp dụng kết quả trên để tính giá trị các biểu thức sau:
\({\rm{A}} = {1 \over 2}.{1 \over 3} + {1 \over 3}.{1 \over 4} + {1 \over 4}.{1 \over 5} + {1 \over 5}.{1 \over 6} + {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9}\)
\(B = {1 \over {30}} + {1 \over {42}} + {1 \over {56}} + {1 \over {72}} + {1 \over {90}} + {1 \over {110}} + {1 \over {132}}\)
Giải
a) \({\rm{}}{1 \over n}.{1 \over {n + 1}} = {1 \over {n(n + 1)}}\) (1) (n ∈ Z, n ≠ 0)
\({1 \over n} - {1 \over {n + 1}} = {1 \over n} + {{ - 1} \over {n + 1}} \)
\(= {{n + 1} \over {n(n + 1)}} + {{ - n} \over {n(n + 1)}} = {{n + 1 - n} \over {n(n + 1)}} \)
\(= {1 \over {n(n + 1)}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \({1 \over n}.{1 \over {n + 1}} = {1 \over n} - {1 \over {n + 1}}\left( {n \in Z,n > 0} \right)\)
b) Áp dụng kết quả câu a ta có:
\({\rm{A}} = {1 \over 2}.{1 \over 3} + {1 \over 3}.{1 \over 4} + {1 \over 4}.{1 \over 5} + {1 \over 5}.{1 \over 6} + {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9}\)
\(\eqalign{
& = {1 \over 2} - {1 \over 3} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 4} - {1 \over 5} + {1 \over 5} - {1 \over 6} + {1 \over 6} - {1 \over 7} + {1 \over 7} - {1 \over 8} + {1 \over 8} - {1 \over 9} \cr
& = {1 \over 2} - {1 \over {9}} = {{9} \over {18}} + {{ - 2} \over {18}} = {7 \over {18}} \cr} \)
\(B = {1 \over {30}} + {1 \over {42}} + {1 \over {56}} + {1 \over {72}} + {1 \over {90}} + {1 \over {110}} + {1 \over {132}}\)
\(\eqalign{
& = {1 \over 5}.{1 \over 6} + {1 \over 6}.{1 \over 7} + {1 \over 7}.{1 \over 8} + {1 \over 8}.{1 \over 9} + {1 \over 9}.{1 \over {10}} + {1 \over {10}}.{1 \over {11}} + {1 \over {11}}.{1 \over {12}} \cr
& = {1 \over 5} - {1 \over 6} + {1 \over 6} - {1 \over 7} + {1 \over 7} - {1 \over 8} + {1 \over 8} - {1 \over 9} + {1 \over 9} - {1 \over {10}} + {1 \over {10}} - {1 \over {11}} + {1 \over {11}} - {1 \over {12}} \cr
& = {1 \over 5} - {1 \over {12}} = {{12} \over {60}} + {{ - 5} \over {60}} = {7 \over {60}} \cr} \)