Nội dung bài giảng
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.
b) Kẻ BH ⊥ AM (H AM), kẻ CK ⊥ AN (K. Chứng minh rằng BH = CK.
c) Chứng minh rằng AH = AK.
d) Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao ?
e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạnh của tam giác OBC.
Hướng dẫn làm bài:
a) ∆ABC cân, suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (1)
\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (2)
\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)
Xét ∆ABM và ∆CAN có:
+) AB = AC (gt)
+) \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (cmt)
+) BM = CN (gt)
\(\Rightarrow\) ∆ABM = ∆CAN (c-g-c)
Suy ra \(\widehat M = \widehat N\)
Vậy ∆AMN là tam giác cân ở A.
b) Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :
BM = CN (gt)
\(\widehat M = \widehat N\) (CM từ câu a)
Nên ∆BHM = ∆CHN (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra BH = CK.
c) Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)
Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).
Do đó AH = AM – HM = AN – KN (theo (*) và (**)) = AK
Vậy AH = AK.
d) ∆BHM = ∆CKN suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\)
Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) (đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (đối đỉnh)
Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .
Vậy ∆OBC là tam giác cân.
e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và BM = CN = BC hình được vẽ lại như sau:
+Tam giác cân ABC có \(\widehat {BAC} = {60^0}\) nên là tam giác đều hay AB = BC = AC
Mặt khác: BM = CN = BC (gt)
Do đó: AB = BC = AC = BM = CN
Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^0}\) (cùng bù với 600)
Vì AB = BM (cmt) nên ∆ABM cân ở B suy ra \(\widehat M = \widehat {BAM} = {{{{180}^0} - {{120}^0}} \over 2} = {30^0}\) .
Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^0}\) .
Và \(\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)\)
\( = {180^0} - {2.30^0} = {120^0}\)
Vậy ∆AMN có \(\widehat M = \widehat N = {30^0};\widehat A = {120^0}.\)
+∆BHM có: \(\widehat M = {30^0}\) nên \(\widehat {{B_2}} = {60^0}\) (hai góc phụ nhau)
Suy ra \(\widehat {{B_3}} = {60^0}\)
Tương tự \(\widehat {{C_3}} = {60^0}\)
Tam giác OBC có \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}} = {60^0}\) nên tam giác OBC là tam giác đều.
(Tam giác cân có một góc bằng 600 nên là tam giác đều).