Nội dung bài giảng
Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Giải
Giả sử ∆ABC có hai đường trung tuyến BD, CE và BD = CE. Gọi G là giao điểm BD và CE.
\(BG = {2 \over 3}B{\rm{D}}\) (tính chất đường trung tuyến)
\(CG = {2 \over 3}CE\) (tính chất đường trung tuyến)
Suy ra: BG = CG
BD = CE
\( \Rightarrow \) BG + GD = CG + GE
Xét ∆BGE và ∆CGD:
BG = CG (chứng minh trên)
\(\widehat {BGE} = \widehat {CG{\rm{D}}}\) (đối đỉnh)
GE = GD (chứng minh trên)
Do đó: ∆BGE = ∆CGD (c.g.c)
\( \Rightarrow \) BE = CD (1)
\(BE = {1 \over 2}AB\) (Vì E là trung điểm AB) (2)
\(C{\rm{D = }}{1 \over 2}AC\) (Vì D là trung điểm AC) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB = CD.Vậy ∆ABC cân tại A.