Nội dung bài giảng
a) Chứng tỏ rằng nếu \({a \over b} < {c \over d}(b > 0,d > 0)\) thì \({a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\)
b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa \({{ - 1} \over 3}\) và \({{ - 1} \over 4}\)
Giải
Ta có: \({a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}};{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) Vì b>0, d > 0 \( \Rightarrow \) bd > 0
Mà \({a \over b} < {c \over d}\) nên \({{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} < {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) \( \Rightarrow \)ad < bc (1)
Cộng vào 2 vế của (1) với ab
Suy ra: \(a{\rm{d}} + ab < bc + ab \)
\(\Rightarrow a\left( {b + d} \right) < b\left( {a + c} \right) \)
\(\Rightarrow {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}}\) (2)
Cộng vào 2 vế của (1) với cd
Suy ra: \(a{\rm{d}} + c{\rm{d}} < bc + c{\rm{d}}\)
\(\Rightarrow \left( {a + c} \right)d < c\left( {b + d} \right)\)
\(\Rightarrow {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\) (3)
Từ (2) và (3) suy ra: \({a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\)
b) Theo câu a) ta có:
\({{ - 1} \over 3} < {{ - 1} \over 4} \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 1)} \over {3 + 4}} = {{ - 2} \over 7} < {{ - 1} \over 4}\)
\({{ - 1} \over 3} < {{ - 2} \over 7} \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 2)} \over {3 + 7}} = {{ - 3} \over {10}} < {{ - 2} \over 7}\)
\({{ - 1} \over 3} < {{ - 3} \over {10}} \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + ( - 3)} \over {3 + 10}} = {{ - 4} \over {13}} < {{ - 3} \over {10}}\)
Vậy \({{ - 1} \over 3} < {{ - 4} \over {13}} < {{ - 3} \over {10}} < {{ - 2} \over 7} < {{ - 1} \over 4}\)