Nội dung bài giảng
Dựa vào kết quả của bài 65, chứng minh rằng:
a) Các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.
b) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Giải
a) Kẻ đường trung trực AC cắt BC tại K.
Nối AK.
=>AK = KC (tính chất đường trung trực)
=>∆KAC cân tại K
\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{A}}C} = \widehat C\) (1)
\(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2)
\(\widehat {K{\rm{A}}C} + \widehat {K{\rm{A}}B} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {K{\rm{A}}B} = \widehat B\)
ð ∆KAB cân tại K
ð KA = KB
Nên K thuộc đường trung trực của AB
Suy ra K là giao điểm ba đường trung trực của ∆ABC
Suy ra: KB = KC = KA
=>K là trung điểm của BC
Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm cạnh huyền.
b) Giả sử ∆ABC có Â = 90°. M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA
Xét ∆AMC và ∆BMD:
BM = CM (gt)
\(\widehat {AMC} = \widehat {BM{\rm{D}}}\) (đối đỉnh)
MA = MD (theo cách vẽ)
Do đó: ∆AMC = ∆BMD (c.c.c)
\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat D\)
Suy ra: BD // AC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
\({\rm{AC}} \bot {\rm{AB}}\) (gt)
Suy ra: \(B{\rm{D}} \bot AB\) hay \(\widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \)
Xét ∆ABC và ∆BAD:
\(\widehat {BAC} = \widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \)
AB cạnh chung
BD = AC (Vì ∆AMC = ∆MBD)
Do đó: ∆ABC = ∆BAD (c.g.c)
=>AD = BC
\(AM = M{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow AM = {1 \over 2}BC\)
Vậy trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.