Nội dung bài giảng
Chứng minh rằng:
a. \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 2{a^3}\)
b. \(\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] = {a^3} + {b^3}\)
c. \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2}\)
Giải:
a. Biến đổi vế trái:
\(\eqalign{ & \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \cr & = a{}^3 + {b^3} + {a^3} - {b^3} = 2{a^3} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.
b. Biến đổi vế phải:
\(\eqalign{ & \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right] = \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right] \cr & = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3} \cr} \)
Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.
c. Biến đổi vế phải:
\(\eqalign{ & {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2} = {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} - 2abcd + {b^2}{c^2} \cr & = {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} = c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \cr & = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \cr} \)
Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.